Egenskaper for aksjeopsjoner Kapittel 9 1 Alternativer, futures og andre derivater, 7. utgave, Copyright John C. Hull 2008. Presentasjon på tema: Egenskaper for aksjeopsjoner Kapittel 9 1 Alternativer, Futures og andre derivater, 7. utgave, Copyright John C . Hull 2008. Presentasjon transkripsjon: 1 Egenskaper for aksjeopsjoner Kapittel 9 1 Alternativer, Futures og andre Derivater, 7. utgave, Copyright John C. Hull 2008 2 Alternativer, Futures og andre Derivater 7. utgave, Copyright John C. Hull 20082 Notasjon c. Europeisk kjøpsopsjonspris p: Europeisk salgsopsjonskurs S 0: Aksjekurs i dag K: Strekkpris T: Alternativ opsjon: Volatilitet på aksjekursen C: American Call opsjonskurs P: American Put opsjonskurs ST: Aksjekurs på opsjon forfall D : Nåverdi av utbytte i opsjonslivet r: Risikofri rente for forfall T med cont comp 3 Alternativer, futures og andre derivater 7. utgave, Copyright John C. Hull 20083 Effekt av variabler på opsjonsprising (Tabell 9.1, side 202 ) cpCP Variabel S0S0 KT r D. 4 Alternativer, Futures og andre Derivater 7. utgave, Copyright John C. Hull 20084 American vs European Options Et amerikansk alternativ er verdt minst like mye som det tilsvarende europeiske alternativet C c P p 5 Alternativer, futures og andre derivater 7 Utgave, Copyright John C. Hull 20085 Samtaler: En arbitrage-mulighet Anta at c 3 S 0 20 T 1 r 10 K 18 D 0 Er det en arbitrage-mulighet 6 Alternativer, fremtidige og andre derivater 7. utgave, Copyright John C. Hull 20086 Nedre bundet for europeiske samtalealternativene Ingen utbytte (likning 9.1, side 207) c max (S 0 Ke rT, 0) 7 Alternativer, Futures og andre derivater 7 utgave, Copyright John C. Hull 20087 Putt: En Arbitrage Opportunity Anta at det er en arbitrage-mulighet p 1 S 0 37 T 0,5 r 5 K 40 D 0 8 Alternativer, fremtidige og andre derivater 7. utgave, Copyright John C. Hull 20088 Nedre grense for europeiske satser, ingen utbytte (ligning 9.2, side 208) p max (Ke-rT S 0, 0) 9 Alternativer, Futures , og andre derivater 7. utgave, Copyright John C. Hull 20089 Samtaleparametall ingen utbytte (ligning 9.3, side 208) Vurder følgende 2 porteføljer: Portefølje A: Europeisk samtale på et lager PV av aksjekursen i kontanter Portefølje C : Europeisk lager på lager aksjen Begge er verdt maks (ST, K) på opsjonsperioden. De må derfor være verdt det samme i dag. Dette betyr at c Ke-rT p S 0 10 Alternativer, Futures og andre Derivater 7. utgave, Copyright John C. Hull 200810 Arbitrasjemuligheter Anta at c 3 S 0 31 T 0.25 r 10 K 30 D 0 Hva er arbitrage mulighetene når p 2,25. p 1. 11 Alternativer, Futures og andre derivater 7. utgave, Copyright John C. Hull 200811 Tidlig utøvelse Vanligvis er det en viss sjanse for at et amerikansk alternativ vil bli utøvet tidlig. Et unntak er et amerikansk kall på et ikke-utbytte. bør aldri utøves tidlig 12 Alternativer, futures og andre derivater 7. utgave, Copyright John C. Hull 200812 For et amerikansk anropsalternativ: S 0 100 T 0.25 K 60 D 0 Skal du trene umiddelbart Hva bør du gjøre hvis du vil hold aksjen for de neste 3 månedene du ikke føler at aksjen er verdt å holde i de neste 3 månedene. En ekstrem situasjon 13 Alternativer, Futures og andre derivater 7. utgave, Copyright John C. Hull 200813 Grunner til at du ikke utfører en samtale Tidlig (ingen utbytte) Ingen inntekt offras Betaling av strykeprisen er forsinket Holding anskaffelsen gir forsikring mot aksjekurs som faller under strykekurs 14 Alternativer, Futures og andre derivater 7 utgave, Copyright John C. Hull 2 00814 Skal legges ut tidlig. Er det noen fordeler med å utøve et amerikansk sett når S 0 60 T 0.25 r 10 K 100 D 0 15 Alternativer, fremtidige og andre derivater 7. utgave, Copyright John C. Hull 200815 Virkningen av utbytte på lavere bånd til opsjonspriser ( Equations 9.5 og 9.6, side 214-215) 16 Alternativer, Futures og andre Derivater 7. utgave, Copyright John C. Hull 200816 Utvidelser av Put-Call Parity Amerikanske alternativer D 0 S 0 - K 0 c D Ke - rT s 0 (Equation 9.7, s. 215) Amerikanske alternativer D 0 S 0 - D - K 0 c D Ke - rT p S 0 (Likning 9.7, s. 215) Amerikanske opsjoner D 0 S 0 - D - KChapter 10 Egenskaper for lager Alternativ Alternativer, Futures og andre Derivater, 8. utgave, Copyright John C. Hull 2012 1. Presentasjon på tema: Kapittel 10 Egenskaper for aksjeopsjoner Alternativer, Futures og andre derivater, 8. utgave, Copyright John C. Hull 2012 1. Presentasjon transkripsjon: 1 Kapittel 10 Egenskaper for aksjeopsjoner Alternativer, futures og andre derivater, 8. utgave, Copyright John C. Hull 2012 1 2 Noteringsalternativer, fremtidige og andre derivater, 8. utgave, Copyright John C. Hull 20122 c: Europeisk anropsalternativ pris p: Europeisk salgsopsjonspris S0: S0: Aksjekurs i dag K: Strekkpris T: Alternativets levetid: : Volatilitet på aksjekursen C: American call opsjonskurs P: American put opsjonskurs ST: ST: Aksjekurs på opsjonsforfall D: PV av utbytte betalt i løpet av opsjonsperioden r Risikofri rente for forfall T med forts. komp. 3 Effekt av variabler på opsjonsprising (Tabell 10.1, side 215) Alternativer, fremtidige og andre derivater, 8. utgave, Copyright John C. Hull 2012 Variabel cpCP S0S0 K T. R D 3 4 Amerikanske vs Europeiske Alternativer Alternativer, Futures, og Andre avledninger, 8. utgave, Copyright John C. Hull 2012 4 Et amerikansk alternativ er verdt minst like mye som det tilsvarende europeiske alternativet C c P p 5 Samtaler: En arbitrage-mulighet Anta at det er en arbitrage-mulighet Valg, fremtid og andre Derivater, 8. utgave, Copyright John C. Hull 2012 5 c 3 S 0 20 T 1 r 10 K 18 D 0 6 Nedre bundet for europeiske samtalealternativer Priser Ingen utbytte (ligning 10.4, side 220) c S 0 Ke-rT Valg, Futures og andre derivater, 8. utgave, Copyright John C. Hull 2012 6 7 Putt: En arbitrage-mulighet Anta at det finnes en arbitrage-mulighet Valg, fremtidige og andre derivater, 8. utgave, Copyright John C. Hull 2012 7 s. 1 S 0 37 T 0,5 r 5 K 40 D 0 8 Nedre bundet for Europ ean Sett pris ingen utbytte (likning 10.5, side 221) p Ke-rT S 0 Alternativer, futures og andre derivater, 8. utgave, Copyright John C. Hull 2012 8 9 Put-Call Parity: Nei Utbytte Vurder følgende 2 porteføljer: Portefølje A: Europeisk påkall på en null-kupongobligasjon som betaler K i tid T Portefølje C: Europeisk lager på aksjen aksjer Optioner, futures og andre derivater, 8. utgave, Copyright John C. Hull 2012 9 10 Verdier av porteføljer Alternativer, futures og andre derivater, 8. utgave, Copyright John C. Hull 201210 ST KS T KS T 11 Sammenkallingsparitetsresultatet (likning 10.6, side 222) Begge er verdt maks (ST, K) ved forfall av alternativer De må derfor være verdt det samme i dag. Dette betyr at c Ke-rT p S 0 Alternativer, Futures og andre derivater, 8. utgave, Copyright John C. Hull 2012 11 12 Anta at Hva er arbitrasjonsmulighetene når p 2.25. p 1. Valg, fremtidige og andre derivater, 8. utgave, Copyright John C. Hull 2012 12 Arbitrasjemuligheter c 3 S 0 31 T 0.25 r 10 K 30 D 0 13 Bound for europeiske eller amerikanske anropsalternativer (ingen utbytte) Futures og andre derivater, 8. utgave, Copyright John C. Hull 2012 13 14 Bounds for europeiske og amerikanske Put Options (No Dividends) Alternativer, Futures og andre Derivater, 8. utgave, Copyright John C. Hull 201214 15 Virkningen av utbytte Alternativer, futures og andre derivater, 8. utgave, Copyright John C. Hull 2012 15 16 Forlengelser av Put-Call Parity Amerikanske alternativer D 0 S 0 K 0 c D Ke rT p S 0 Likning 10.10 s. 230 amerikanske alternativer D 0 S 0 D K 0 c D Ke rT p S 0 Likning 10.10 s. 230 amerikanske opsjoner D 0 S 0 D K73323229-9-Egenskaper-av-lager-alternativer - T ER Prope: rties. Dette er slutten av forhåndsvisningen. Registrer deg for å få tilgang til resten av dokumentet. Uformatert tekstforhåndsvisning: T ER Prope: rties of Stock Options I dette kapittelet ser vi på faktorer som påvirker aksjeopsjonsprisene. Vi bruker en rekke forskjellige arbitrage argumenter for å utforske forholdet mellom europeiske tilleggspriser, amerikanske opsjonspriser og underliggende aksjekurs. Den viktigste av disse relasjonene er eide paritet, som er et forhold mellom europeiske anropsalternativpriser og europeiske salgsopsjonspriser. Kapittelet undersøker om amerikanske opsjoner bør utøves tidlig. Det viser at det aldri er optimalt å utøve et amerikansk anropsalternativ på en ikke-utbyttebetalende aksje før opsjonsutløpet, men under noen omstendigheter er det tidlig å utøve et amerikansk putsett på en slik aksje optimal. 9.1 FAKTORER SOM FØLGER OPTIONSPRAKSJONER Det er seks faktorer som påvirker prisen på et aksjeopsjon: 1. Den 2. Den 3. Den 4. Den 6. Den nåværende aksjekursen, Så utløsningspris, K-tiden til utløp, T-volatilitet av aksjekursen (j risikofri rente, forventes utbytte i løpet av opsjonsperioden. I denne delen vurderer vi hva som skjer med opsjonspriser når en av disse faktorene endres, med alle de resterende faste. Resultatene er oppsummert i tabell 9.1. Tallene 9.1 og 9.2 viser hvordan europeiske anrops - og salgspriser er avhengig av de fem første faktorene i situasjonen hvor 50, 50, 5, år, 30 år, t 1 år og det er ingen utbytte. I dette tilfellet er anskaffelseskursen 7.116 og salgsprisen er 4 677. Aksjekurs og Strike-pris Hvis et opsjonsopsjon utøves i fremtiden, vil utbetalingen være det beløpet som aksjekursen overstiger strike-prisen. Alternativer blir derfor mer verdifulle som Oquot 206 KAPITTEL 9 Tabell 9.1 Sammendrag av t e effekt på prisen på et aksjeopsjon om å øke en variabel samtidig som alle andre faste. Variabel Nåværende aksjekurs Strekkpris Tid til utløp Volatilitet, risikofri rente Summen av fremtidige utbytte European European American American call put call put. indikerer at en økning i variabelen fører til at opsjonsprisen øker - indikerer at en økning i variabelen får alternativprisen til å redusere 1 indikerer at forholdet er usikkert. aksjekursen øker og mindre verdifull som strekkprisen øker. For et opsjonsalternativ er utbetalingen på utøvelse det beløpet som strekkprisen overstiger aksjekursen. Put-opsjoner oppfører seg derfor motsatt fra anropsalternativene: De blir mindre verdifulle når aksjekursen øker og mer verdifullt som strekkprisen øker. Figur 9. 1 (a-d) illustrerer måten hvor salgs - og anropspriser er avhengig av aksjekurs og strike-pris. Tid til utløp Nå vurderer effekten av utløpsdatoen. Både put og call Amerikanske alternativer blir mer verdifulle ettersom tiden til utløpet øker. Anta at vi har to amerikanske alternativer som bare er forskjellig så langt som utløpsdatoen gjelder. Eieren av alternativet for lang levetid har alle treningsmulighetene åpne for eieren av shortlife-alternativet - og mer. Livslangsalternativet må derfor alltid være verdt minst like mye som kort levetid. Selv om europeiske put - og anropsalternativer vanligvis blir mer verdifulle etter hvert som tiden til utløpet øker (se f. eks. Figur 9.1 (e, f)), er dette ikke alltid tilfelle. Tenk på to europeiske anropsalternativer på en aksje: en med en utløpsdato på 1 måned, den andre med en utløpsdato på 2 måneder. Anta at et svært stort utbytte forventes om 6 uker. Utbyttet vil føre til at aksjekursen senkes, slik at alternativet for kort levetid kan være verdt mer enn lang levetid. Volatilitet Den nøyaktige måten å definere volatilitet på er omtalt i kapittel 13. Grovt sett er volatiliteten til en aksjekurs et mål på hvor usikker vi handler om fremtidige aksjekursbevisninger. Etter hvert som volatiliteten øker, øker sjansen for at aksjen vil gjøre det veldig bra eller svært dårlig øker. For eieren av en aksje har disse to utfallene en tendens til å kompensere hverandre. Dette er imidlertid ikke slik for eieren av en samtale eller et sett. Eieren av en samtale drar nytte av prisøkninger, men har begrenset nedsatt risiko i tilfelle prisfall, fordi den mest eieren kan miste er prisen på opsjonen. Tilsvarende fordeler eieren av et puten fra prisfall, men har begrenset nedsatt risiko i tilfelle 207 Egenskaper av aksjeopsjoner av prisøkninger. Verdiene til bQth ringer og legger derfor øke ettersom volatiliteten øker (se figur 9.2 (a, b)). Risikofri rente Den risikofrie renten påvirker prisen på et alternativ på en mindre klar måte. Etter hvert som rentene i økonomien øker, forventes avkastning fra investorer fra aksjene. Effekt av endringer i aksjekurs, kurs og utløpsdato på opsjonspriser når Så 50, K 50, 5, 30 og T 1. Figur 9.1 Anropspris, c Anskaffelseskurs, p 50 50 40 30 20 0 Aksjekurs, Så Aksjekurs, Så 10 0 20 60 80 20 100 80 (a) 100 (b) Anropspris, c Sett opsjonspris, p 50 40 30 20 10 0 Strekkpris, K 0 20 40 60 80 100 10 0 Strike price, K 0 20 40 (c) 60 80 100 (d) Anropspris, c Sett opsjonspris, s 10 10 8 8 6 6 4 4 2 0 0,0 Tid til utløp, T 0,4 0,8 1,2 (e) 1,6 2 0 0,0 Tid til utløp, T 0,4 0,8 1,2 (f) 1,6 208 KAPITTEL 9 Figur 9.2 Effekt av endringer i volatilitet og risikofri rente på opsjonspriser når Så 50, K 50, 5, U 30 og T l. Call opsjon pris, c Sett opsjonspris, p 15 15 12 12 9 9 6 6 3 00 Volatilitet, cr () 20 10 30 40 50 3 0 0 Volatilitet, cr () 10 20 30 (a) 40 50 (b) Ring opsjonspris, c Sett opsjonspris, p 10 10 8 8 6 6 4 4 2 00 Risikofri rente, r () 2 4 6 8 (c) 2 00 Risikofri rente, r () 2 4 6 8 (d) ) har en tendens til å øke. I tillegg reduseres nåverdien av fremtidig kontantstrøm mottatt av opsjonens innehaver. Den kombinerte effekten av disse to effektene er å øke verdien av anropsopsjoner og redusere verdien av salgsopsjoner (se figur 9.2 (c, d)). Det er viktig å understreke at vi antar at renten endres mens alle andre variabler blir de samme. Spesielt antar vi at renten endres mens aksjekursen forblir den samme. I praksis, når rentene stiger (faller), har aksjekursene en tendens til å falle (økning). Nettoeffekten av en rentestigning og den tilhørende aksjekursreduksjonen kan være å redusere verdien av et anropsalternativ og øke verdien av et puteringsalternativ. På samme måte. Nettoeffekten av en renteduksjon og den medfølgende aksjekursøkningen kan være å øke verdien av et anropsalternativ og redusere verdien av et puteringsalternativ. Summen av fremtidige utbytte Utbytter medfører reduksjon av aksjekursen på utbytte dagen. Dette er dårlige nyheter for verdien av anropsalternativer og gode nyheter for verdien av salgsopsjoner. Verdien av et opsjonsalternativ er derfor negativt knyttet til størrelsen på et forventet fremtidig utbytte, og verdien av et putsett er positivt knyttet til størrelsen på et forventet fremtidig utbytte. 209 Egenkapitalandeler 9.2 ANSØKNINGER OG NOTASJON I dette kapitlet vil vi gjøre forutsetninger som ligner de som er gjort for å utlede termin - og terminspriser i kapittel 5. Vi antar at det er noen markedsdeltakere, for eksempel store investeringsbanker, for hvilke følgende uttalelser er sanne: 1. Det er ingen transaksjonskostnader. 2. Alle handelsgevinstkvoter (med fradrag av handelstap) er underlagt samme skattesats. 3. Lån og utlån er mulige til risikofri rente. Vi antar at disse markedsdeltakere er forberedt på å utnytte arbitrage muligheter når de oppstår. Som diskutert i kapittel I og 5, betyr dette at eventuelle tilgjengelige arbitrasjonsmuligheter forsvinner veldig raskt. For vår analyse er det derfor rimelig å anta at det ikke finnes arbitrage muligheter. Vi vil benytte følgende notering: Så: Nåværende aksjekurs K: Strekkpris på opsjon T: Tid til utløpet av opsjon ST: Aksjekurs på forfall r: Kontinuerlig sammensatt risikofri rente for en investering som forfaller i tid T c: Verdi av amerikansk kjøpsopsjon for å kjøpe en aksje P: Verdi av amerikansk salgsopsjon å selge en andel c: Verdi av europeisk anropsalternativ for å kjøpe en aksje p: Verdi av europeisk salgsopsjon å selge en aksje Det skal bemerkes at r er den nominell rente, ikke den reelle renten. Vi kan anta at rgt O. Ellers vil en risikofri investering ikke gi noen fordeler over penger. (Faktisk, hvis r-lt 0, ville kontanter være å foretrekke for en risikofri investering.) 9.3 ØVERRE OG LAVRE BUNDER FOR VALGPRISER I denne delen får vi øvre og nedre grenser for opsjonspriser. Disse grensene er ikke avhengige av noen forutsetninger om faktorene nevnt i avsnitt 9.1 (unntatt r gt 0). Hvis en opsjonspris ligger over øvre grense eller under nedre grense, er det lønnsomme muligheter for arbitrageører. Øvre bånd Et amerikansk eller europeisk anropsalternativ gir innehaveren rett til å kjøpe en aksje på en aksje til en viss pris. Uansett hva som skjer, kan alternativet aldri være mer verdt enn aksjene. Derfor er aksjekursen en øvre grense til opsjonsprisen: c Så Hvis disse forholdene ikke var sanne, kunne en arbitrage enkelt gjøre et risikofri resultat ved å kjøpe aksjene og selge anropsalternativet. 210 KAPITTEL 9 Et amerikansk eller europeisk put-alternativ gir rett til å selge en aksje av aksje for K. Uansett hvor lav aksjekursen blir, kan alternativet aldri være mer verdt enn K. Derfor, p K For europeiske opsjoner , vi vet at ved forfall kan alternativet ikke være mer verdt enn K. Det følger at det ikke kan være mer verdt enn dagens nåverdi i K i dag. Hvis dette ikke var sant, kunne en arbitrage gi et risikofri resultat ved å skrive opsjonen og investere inntektene fra salget til den risikofrie renten. Nedre bundet for innkalling av utbyttebeholdninger En lavere avgift for prisen på et europeisk anropsalternativ på en ikke-utbyttebeholdning er Wequot ser først på et numerisk eksempel og vurderer deretter et mer formelt argument. Anta at så 20, k 18, r 10 per år og t 1 år. I dette tilfellet, So - KeRT 20 - 18e-O. 1 3,71 eller 3,71. Tenk på situasjonen hvor den europeiske samtaleprisen er 3,00, som er mindre enn det teoretiske minimumet på 3,71. En arbitrageur kan kutte aksjene og kjøpe anropet for å gi en kontantstrøm på 20,00 - 3,00 17,00. Hvis investert i 1 år kl 10 på året, vokser 17.00 til 17eo. 1 18,79. Ved utgangen av året utløper opsjonen. Hvis aksjekursen er større enn 18.00, utøver arbitrageur muligheten til 18.00, lukker den korte stillingen og gir et overskudd på 18,79 - 18,00 0,79. Hvis aksjekursen er under 18.00, aksjene er kjøpt på markedet og Kort posisjon er lukket ut. Arbitrageur gir deretter et enda større overskudd. For eksempel, hvis aksjekursen er 17.00, er arbitrageursresultatet 18,79 - 17,00 1,79. For et mer formelt argument vurderer vi følgende to porteføljer: Portefølje A: Ett europeisk anropsalternativ pluss et kontantbeløp tilsvarende KORT Portefølje B : en andel I portefølje A vil kontanter, hvis den er investert i risikofri rente, vokse til K i tid T. Dersom ST gt K blir opsjonsopsjonen utøvet til forfall og portfblio A er verdt ST Hvis ST lt K, anropsalternativet utløper verdiløs og porteføljen er verdt K. På tidspunkt T er portefølje A derfor verdt maks. (ST K) Portefølje B er verdt ST ved tid T. Derfor er portefølje A alltid verdt så mye som, og 211 Egenskaper av aksjeopsjoner kan være verdt mer enn, portefølje på opsjonsperioden. Det følger derfor at i mangel av arbitrasjemuligheter må dette også være sant i dag. gjerd, kjerre Så eller fordi det verste som kan skje med et anropsalternativ, er at det utløper verdiløst, dets verdi kan ikke være negativt. Dette betyr at c 0 og derfor c max (SoKerT. 0) (9.1) Eksempel 9.1 Vurder et europeisk anropsalternativ på en ikke-utbyttebetalende aksje når aksjekursen er 51, strekkprisen er 50, Tid til forfall er 6 måneder, og risikofri rente er 12 per år. I dette tilfellet, så 51, K50, T 0.5 og rT r 0,12. Fra ligning (9.1) er en lavere grense for opsjonsprisen So-Ke-. eller 51 - 50e-O.12x0.5 3,91 lavere Bundet til europeisk legger på ikke-utbyttebetalende aksjer For et europeisk salgsmulighet på en ikke-utbyttebeholdning, er en lavere beløp for prisen igjen. Vi vurderer først en numerisk eksempel og deretter se på et mer formelt argument. Anta at så 37, k 40, r 5 per år og t 0,5 år. I dette tilfellet, KeRT - Så 40e-O.05xO.5 - 37 2.01 Vurder situasjonen. hvor den europeiske settprisen er 1,00, som er mindre enn det teoretiske minimumet på 2,01. En arbitrageur kan låne 38,00 i 6 måneder for å kjøpe både puten og aksjen. På slutten av 6 måneder, vil arbitrageur bli pålagt å tilbakebetale 38eo.05xO.5 38.96. Hvis aksjekursen er under 40,00, benytter arbitrageieren muligheten til å selge aksjen for 40,00, tilbakebetaler lånet og gir et overskudd på 40,00 - 38,96 1,04. Hvis aksjekursen er høyere enn 40,00, bringer arbitrageur utvalget, selger lager, og tilbakebetaler lånet for et enda større overskudd. For eksempel, hvis aksjekursen er 42,00, er arbitrageurs fortjenesten. 42,00 - 38,96 3,04 For et mer formelt argument vurderer vi følgende to porteføljer: Portefølje C: Ett europeisk puteringsalternativ pluss en aksje Portefølje D: En mengde kontanter tilsvarer KeRT Hvis ST lt K, så er opsjonen i portefølje C utøves på opsjonsfrist, og porteføljen blir verdt K. Hvis ST gt K, utløper salgsopsjonen verdiløs, og porteføljen 212 KAPITTEL 9 er verdt ST på denne tiden. Derfor er portefølje C verdt max (ST K) i tid T. Forutsatt at kontanter er investert i risikofri rente, er portefølje D verdt K i tid T. Derfor er portefølje C alltid verdt så mye som, og kan Noen ganger er det verdt mer enn portefølje D i tid T. Det følger at i mangel av arbitrasjemuligheter må portefølje C være verdt minst like mye som portefølje D i dag. Derfor, p So KeRT eller fordi det verste som kan skje med et put-alternativ er at det utløper verdiløst, dets verdi kan ikke være negativt. Dette betyr at p max (Ke-rT - So, 0) (9.2) Eksempel 9.2.konsider et europeisk put-alternativ på en ikke-utbyttebetalende aksje når aksjekursen er 38, strekkprisen er 40, tidspunktet til forfall er 3 måneder, og den risikofrie rente er 10 per år. I dette tilfellet så 38, K 40, T 0,25 og r 0,10. Fra ligning (9.2), en nedre grense for opsjonsprisen, er KeTT - Så eller 40e-O. lxO.25 - 38 1.01 9.4 PUT-CALL PARITY Vi får nå et viktig forhold mellom p og c. Tenk på følgende to porteføljer som ble brukt i forrige avsnitt: Portefølje A: Ett europeisk anropsalternativ pluss en mengde penger lik Ke-rT Portefølje C: Ett europeisk put-alternativ pluss en andel Begge er verdt maks (ST, K) på utløpet av opsjonene. Fordi alternativene er europeiske, kan de ikke utøves før utløpsdatoen. Porteføljene må derfor ha samme verdier i dag. Tllis betyr at (9.3) cKerT pSo Dette forholdet kalles samtaleparitet. Det viser at verdien av et europeisk anrop med en bestemt utsalgsdato og en utøvelsesdato kan utledes av verdien av en europeisk satt med samme kurs og utøvelsesdato, og omvendt. Hvis likningen (9.3) ikke holder, er det arbitrage-muligheter. Forutsatt at aksjekursen er 31, er strike-prisen 30, risikofri rente 10 per år, prisen på et 3-måneders europeisk anropsalternativ er 3 , og prisen på en tre måneders europeisk plit-opsjon er 2,25. I dette tilfellet er kjerte 3 30e-o. lx3jI2 32,26 213 Egenskaper av aksjeopsjoner og p So 2,25 31 33,25 Portefølje C er overpriced i forhold til portefølje A. Den riktige arbitrage-strategien er å kjøpe verdipapirene i portefølje A og kort verdipapirer i portefølje C. Strategien innebærer å kjøpe samtalen og forkorte både puten og aksjen, og genererer en positiv kontantstrøm på -3 2,25 31 30,25 foran. Når investert i den risikofrie renten, vokser dette beløpet til 30.25eo. lxO.25 31.02 i 3 måneder. Dersom aksjekursen ved utløpet av opsjonen er større enn 30, vil anropet utøves, og hvis det er mindre enn 30, vil putten bli utøvet. I begge tilfeller slutter investoren å kjøpe en aksje for 30. Denne andelen kan brukes til å lukke den korte posisjonen. Nettoresultatet er derfor 31,02 - 30,00 1,02 For en alternativ situasjon, anta at anskaffelseskursen er 3 og puteprisen er 1. I dette tilfellet er cKrT 3 30e-O. lx312 32.26 og p So 1 31 32,00 Portefølje A er overpriced i forhold til portefølje C. En arbitrageur kan kutte verdipapirene i portefølje A og kjøpe verdipapirene i portefølje C for å låse opp et overskudd. Strategien innebærer Arbitrasjonsmuligheter i Tabell 9.2 når ikke-paralitetspariteten ikke holder. Aksjekurs 31 interesf rate 10call price 3. Både put og call har en kurs på 30 og 3 måneder til forfall. Tredobbelte satt pris 2,25 Tlllee-mollth sette pris 1 Action noll: Kjøp kall for 3 Kort sett til å realisere 2,25 Kort lager for å realisere 31 Invest 30.25 for 3 måneder Action noll: Lån 29 for 3 måneder Kort kall å realisere 3 Kjøp put for 1 Kjøp aksjen for 31 Handling i 3 måneder hvis ST gt 30: Motta 31.02 fra investering Treningsanrop til kjøp av aksjer for 30 Netto gevinst 1.02 Handling i 3 måneder hvis ST gt 30: Samtalen utøves: selg for 30 Bruk 29,73 til å betale tilbake lån Netto fortjeneste 0,27 Handling i 3 måneder dersom ST lt 30: Motta 31,02 fra investering Put utnyttet: kjøp aksjer for 30 Netto fortjeneste 1,02 Handling i 3 måneder hvis ST lt 30: Trening satt til å selge aksjer for 3 Bruk 29,73 til å tilbakebetale lån Netto fortjeneste 0,27 214 KAPITTEL 9 Øyeblikksbilde 9.1 Samtaleparametre og kapitalstruktur Pionerer med opsjonsprising var Fischer Black, Myron Scholes og Robert Merton. På begynnelsen av 1970-tallet viste de at opsjoner kan brukes til å karakterisere kapitalstrukturen i et selskap. I dag er denne modellen mye brukt av finansinstitusjoner for å vurdere selskapets kredittrisiko. For å illustrere modellen, vurder et selskap som har eiendeler som er finansiert med nullkupongobligasjoner og egenkapital. Anta at obligasjonene forfaller på 5 år, da det kreves en hovedbetaling av K. Selskapet betaler ingen utbytte. Hvis eiendelene er verdt mer enn K på 5 år, velger aksjeeierne å tilbakebetale obligasjonseierne. Hvis eiendelene er mindre verdt enn. K, velger aksjeeierne å erklære konkurs og obligasjonseierne eies med å eie selskapet. Verdien av egenkapitalen på 5 år er derfor maksimalt (A T - K, 0), hvor AT er verdien av selskapets eiendeler på den tiden. Dette viser at aksjeeierne har et 5-årig europeisk anropsalternativ på selskapets eiendeler med en strykpris på K. Hva med obligasjonseierne De får min (A T. K) på 5 år. Dette er det samme som K - max (K - AT, 0). Obligasjonseierne har gitt eierne rett til å selge selskapets eiendeler til K for 5 år. Obligasjonene er derfor verdt nåverdien av K minus verdien av en 5-årig europeisk salgsopsjon på eiendelene med en kurspris på K. For å oppsummere, dersom c og p er verdien av samtale - og salgsopsjonene, da Verdi av egenkapitalen c Skuldens verdi PV (K) - P Angiv verdien av selskapets eiendeler i dag av A o. Verdien av eiendelene må være lik verdien av instrumentene som brukes til å finansiere eiendelene. Dette betyr at det må være summen av verdien av egenkapitalen og verdien av gjelden, slik at Ao Omarrangerer denne ligningen, vi c PV (K) - p ave c PV (K) p A o Dette er put - eall paritet resulterer i ligning (9.3) for anrops - og salgsopsjoner på selskapets eiendeler. kortere anropet og kjøper både puten og aksjen med en innledende investering på 31 1 - 3 29 Når investeringen er finansiert til den risikofrie renten, kreves en tilbakebetaling på2geo. lxo.25 29.73 på slutten av 3 måneder. Som i det forrige tilfellet vil enten anropet eller putten bli utøvet. Kortkallingen og den lange salgsopsjonsposisjonen fører derfor til at aksjen blir solgt for 30,00. Nettoresultatet er derfor 30,00 - 29,73 0,27 Disse eksemplene er illustrert i tabell 9.2. Business Snapshot 9.1 viser hvordan opsjoner og saldobalanse kan hjelpe oss å forstå posisjonene til gjeld og egenkapitalinnehavere i et selskap. 215 Egenskaper for aksjeopsjoner Amerikanske opsjoner Put-call parity holder kun for europeiske alternativer. Det er imidlertid mulig å utlede noen resultater for amerikanske opsjonspriser. Det kan vises (se problem 9.18) at når det ikke er utbytte, så - K So - Ke-rT (9.4) Eksempel 9.3 Et amerikansk anropsalternativ på en utbyttebeholdning med strykpris 20,00 og løpetid i 5 måneder er verdt 1,50. Anta at dagens aksjekurs er 19,00 og den risikofrie renten er 10 per år. Fra ligning (9.4) har vi 19 - 20 19 - 20e - O. lx5jI2 eller 1 0.18 som viser at P - C ligger mellom 1,00 og 0,18. Med C på 1,50, må P ligge mellom 1,68 og 2,50. Med andre ord, øvre og nedre grenser for prisen på en amerikansk satt med samme slagpris og utløpsdato som det amerikanske samtalen er 2,50 og 1,68. 9.5 TIDLIGT ØVELSE: SIKKER PÅ EN UTBYGGENDE LØPTEBELASTNING Denne delen viser at det aldri er optimalt å utøve et amerikansk anropsalternativ på en ikke-utbyttebeholdning før utløpsdatoen. For å illustrere argumentets generelle karakter, vurder et amerikansk anropsalternativ på en ikke-utbyttebetalende aksje med 1 måned til utløp når aksjekursen er 50 og aksjeprisen er 40. Alternativet er dypt i pengene, og Investor som eier opsjonen kan godt bli fristet til å utøve det umiddelbart. Men hvis investor planlegger å holde aksjen obtaiped ved å utnytte muligheten for mer enn en måned, er dette ikke den beste strategien. Et bedre tiltak er å beholde muligheten og trene den på slutten av måneden. Prisen på 40 er da utbetalt 1 måned senere enn det ville være hvis opsjonen ble utøvet umiddelbart, slik at interessen er opptjent på 40 i 1 måned. Fordi aksjen ikke betaler utbytte, blir ingen inntekt fra aksjen ofret. En ytterligere fordel med å vente i stedet for å trene umiddelbart er at det er en viss sjanse (uansett) at aksjekursen vil falle under 40 i 1 måned. I dette tilfellet vil investor ikke trene i 1 måned og vil være glad for at beslutningen om å utøve tidlig ikke ble tatt. Dette argumentet viser at det ikke er noen fordeler med å trene tidlig hvis investor planlegger å beholde aksjen for gjenværende livstid alternativ (1 måned, i dette tilfellet). Hva om investor mener lageret er for tiden overpriset og lurer på om det skal utøves og selges aksjen. I dette tilfellet er investor bedre ute å selge alternativet enn å utøve det. l Alternativet vil bli kjøpt av en annen investor som ønsker å beholde aksjen. Slike investorer må eksistere: ellers ville dagens aksjekurs ikke være 50. Prisen som er oppnådd for opsjonen, vil være større enn den inneboende verdien av 10, av de tidligere nevnte grunner. Jeg Som en alternativ strategi kan investor holde opsjonen og kutte aksjene for å låse seg bedre enn SIO. 216 KAPITTEL 9 Variasjon av prisen på et amerikansk eller europeisk anropsalternativ på en utbyttebeholdning med aksjekursen, So. Figur 9.3 Kollopsjonspris K Aksjekurs, Så For et mer formelt argument kan vi bruke ligning (9.1): c Så - KeRT Beca. use eieren av en amerikansk samtale har alle treningsmulighetene åpne for eieren av tilsvarende europeisk samtale, må vi ha følgelig C så - kTr gitt r gt 0, følger det at C gt So - K. Hvis det var optimalt å trene tidlig, ville C være lik So - K. Vi hevder at det aldri kan være optimal til å trene tidlig. Figur 9.3 viser den generelle måten som anropsprisen varierer med. Det indikerer at anropsprisen alltid er over dens egenverdier ofmax (So - K, 0). Etter hvert som r eller T eller volatiliteten øker, beveger linjen som gjelder anropsprisen til aksjekursen i retningen indikert av pilene (dvs. lenger bort fra egenverdien). For å oppsummere, er det to grunner til at et amerikansk anrop på en ikke-utbyttebeholdning bør ikke utøves tidlig. En relaterer seg til forsikringen som den gir. Et anropsalternativ, når det holdes i stedet for selve aksjene, forsikrer faktisk innehaveren mot aksjekursen som faller under streikprisen. Når opsjonen er utøvd og strykingsprisen er utvekslet for aksjekursen, forsvinner denne forsikringen. Den andre grunnen gjelder tidsverdien av penger. Fra opsjonsholderens synspunkt, desto bedre blir utløsningsprisen utbetalt. 9.6 TIDLIGT ØVELSE: POSERER ET IKKE-UTBYTTE LØNNESKAP Det kan være optimalt å utøve et amerikansk salgsopsjon på en ikke-utbyttebeholdning. Faktisk, til enhver tid i løpet av livet, bør en putsettelse alltid utøves tidlig hvis den er tilstrekkelig dyp i pengene. 217 Egenskaper for aksjeopsjoner For å illustrere dette vurderer du en ekstrem situasjon. Anta at strekkprisen er 10 og aksjekursen er nesten null. Ved å trene umiddelbart, får en investor en fortjeneste på 10. Hvis investor venter, kan gevinsten fra øvelsen være mindre enn 10, men den kan ikke være mer enn 10 fordi negative aksjekurser er umulige. Videre er det nå 10 å foretrekke å motta 10 i fremtiden. Det følger at opsjonen bør utøves umiddelbart. Som et anropsalternativ kan et puteringsalternativ betraktes som å gi forsikring. Et puteringsalternativ, når det holdes i forbindelse med aksjene, forsikrer innehaveren om at aksjekursen faller under et visst nivå. However, a put option is different from a call option in that it may be optimal for an investor to forgo this insurance and exercise early in order to realize the strike price immediately. In general, thy early exercise of a put option becomes more attractive as So decreases, as r increases, and as the volatility decreases. It will be recalled from equation (9.2) that For an American put with price P, the stronger condition P K - So must always hold because immediate exercise is always possible. Figure 9.4 shows the general way in which the price of an American put varies with So. Provided that rgt 0, it is always optimal to exercise an American put immediately when the stock price is sufficiently low. When early exercise is optimal, the value of the option is K - So. The curve representing the value of the put therefore merges into the puts intrinsic value, K - So, for a sufficiently small value of So. In Figure 9.4, this value of So is shown as point A. The line relating the put price to the stock price moves in the direction indicated by the arrows when r decreases, when the volatility increases, and when T increases. Because there are some circumstances when it is desirable to exercise an American put option early, it follows that an American put option is always worth more than the Figure 9.4 Variation of price of an American put option with stock price, So. American put price quot. A. K Stock price, So 218 CHAPTER 9 Figure 9.5 Variation of price of a European put option with the stock price, So. European put price E quotquot. quot. quot B K Stock price, So corresponding European put option. Furthermore, because an American put is sometimes worth its intrinsic value (see Figure 9.4), it follows that a European put option must sometimes be worth less than its intrin. sic value. Figure 9.5 shows the variation of the European put price with the stock price. Note that point B in Figure 9.5, at which the price of the option is equal to its intrinsic value, must represent a higher value of the stock price than point A in Figure 9.4. Point E in Figure 9.5 is where So 0 and the European put price is Ke-r 9.7 EFFECT OF DIVIDENDS The results produced so far in this chapter have assumed that we are dealing with options on a non-dividend-paying stock. In this section we examine the impact of dividends. In the United States most exchange-traded stock options have a life of less than 1 year and dividends payable during the life of the option can usually be predicted with reasonable accuracy. We will use D to denote the present value of the dividends during the life of the option. In the calculation of D, a dividend is assumed to occur at the time of its ex-dividend date. lower Bound for Calls and Puts We can redefine portfolios A and B as follows: Portfolio A: one European call option plus an amount of cash equal to D Ke - rT Portfolio B: one share A similar argument to the one used to derive equation (9.1) shows that c So - D - Ke - rT (9.5) 219 Properties of Stock Options We can also redefine portfolios C and D as follows: Portfolio C: one European put option plus one share Portfolio D: an amount of cash equal to D Ke - rT A similar argument to the one used to derive equation (9.2) shows that p D Ke-rT - So (9.6) Early Exercise When dividends are expected, we can no longer assert than an American call option will not be exercised early. Sometimes it is optimal to exercise an American call immediately prior to an ex-dividend date. It is never optimal to exercise a call at other times. This point is discussed further in the appendix to Chapter 13. Put-Call Parity Comparing the value at option maturity of the redefined portfolios A and C shows that, with dividends, the put-eall parity result in equation (9.3) becomes cDKe-rT pSo (9.7) Dividends cause equation (9.4) to be modified (see Problem 9.19) to So - D - K. C - p. So - Ke - rT (9.8) SUMMARY There are six factors affecting the value of a stock option: the current stock price, the strike price, the expiration date, the stock price volatility, the risk-free interest rate, and the dividends expected during the life of the option. The value of a call generally increases as the current stock price, the time to expiration, the volatility, and the riskfree interest rate increase. The value of a call decreases as the strike price and expected dividends increase. The value of a put generally increases as the strike price, the time to expiration, the volatility, and the expected dividends increase. The value of a put decreases as the current stock price and the risk-free interest rate increase. It is possible to reach some co. ndusions about the value of stock options without making any assumptions about the volatility of stock prices. For example, the price of a call option on a stock must always be worth less than the price of the stock itself. Similarly, the price of a put option on a stock must always be worth less than the options strike price. A European call option on a non-dividend-paying stock must be worth more than max(So - Ke - rT. 0) where So is the stock price, K is the strike price, r is the risk-free interest rate, and Tis the time to expiration. A European put option on a non-dividend-paying stock must be 220 CHAPTER 9 worth more than max(Ke-rT - So, 0) When dividends with present value D will be paid, the lower bound for a European call option becomes max(So - D - Ke - rT. 0) and the lower bound for a European put option becomes max(Ke-rT D - So, 0) Put-eall parity is a relationship between the price, c, of a European call option on a stock and the price, p, of a European put option on a stock. For a non-dividend-paying stock, it is cKe-rT pSo For a dividend-paying stock, the put-eall parity relationship is cDKe - rT pSo Put-call parity does not hold for American options. However, it is possible to use arbitrage arguments to obtain upper and lower bounds for the difference between the price of an American call and the price of an American put. In Chapter 13, we will carry the analyses in this chapter further by making specific assumptions about the probabilistic behavior of stock prices. The analysis will enable us to derive exact pricing formulas for European stock options. In Chapters 11 and 17, we will see how numerical procedures can be used to price American options. FURTHER READING Black, F. and M. Scholes. quotThe Pricing of Options and Corporate Liabilities, quot Journal oj Political Economy, 81 (MayjJune-1973): 637-59. Broadie, M. and J. Detemple. quotAmerican Option Valuation: New Bounds, Approximations, and a Comparison of Existing Methods, quot Review oj Financial Studies, 9, 4 (1996): 1211-50. Merton, R. c. quotOn the Pricing of Corporate Debt: The Risk Structure of Interest Rates, quot Journal oj Finance, 29, 2 (1974): 449-70. Merton, R. C. quotTheory of Rational Option Pricing, quot Bell Journal oj Economics and Management Science, 4 (Spring 1973): 141-83. Merton, R. C. quotThe Relationship between Put and Call Prices: Comment, quot Journal oj Finance, 28 (March 1973): 183-84. Stoll, H. R. quotThe Relationship between Put and Call Option Prices, quot Journal oj Finance, 31 (May 1969): 319-32. Questions and Problems (Answers in Solutions Manual) 9.1. List the six factors that affect stock option prices. 9.2. What is a lower bound for the price of a 4-month call option on a non-dividend-paying stock - when the stock price is 28, the strike price is 25, and the risk-free interest rate is 8 per annum Properties of Stock Options 221 9.3. What is a lower bound for the pric of a I-month European put option on a nondividend-paying stock when the stock price is 12, the strike price i 15, and the risk-free interest rate is 6 per annum 9.4. Give two reasons why the early exercise of an American call option on a non-dividendpaying stock is not optimal. The first reason should involve the time value of money. The second should apply even if interest rates are zero. 9.5. quotThe early exercise of an American put is a trade-off between the time value of money and the insurance value of a put. quot Explain this statement. 9.6. Explain why an American call option on a dividend-paying stock is always worth at least as much as its intrinsic value. Is the same true of a European call option Explain your answer. 9.7. The price of a non-dividend-paying stock is 19 and the price of a 3-month European call option on the stock with a strike price of 20 is 1. The risk-free rate is 4 per annum. What is the price of a 3-month European put option with a strike price of 20 9.8. Explain why the arguments leading to put-call parity for Eur()pean options cannot be used to give a similar result for American options. 9.9. What is a lower bound for the price of a 6-month call option on a non-dividend-paying stock when the stock price is 80, the strike price is 75, and the risk-free interest rate is 10 per annum 9.10. What is a lower bound for the price of a 2-month European put option on a nondividend-paying stock when the stock price is 58, the strike price is 65, and the risk-free interest rate is 5 per annum 9.11. A 4-month European call option on a dividend-paying stock is currently selling for 5. The stock price is 64, the strike price is 60, and a dividend of 0.80 is expected in 1 month. Den risikofrie renten er 12 per år for alle løpetider. What opportunities are there for an arbitrageur 9.12. A I-month European put option on a non-dividend-paying stock is currently selling for 2.50. Aksjekursen er 47, strekkprisen er 50, og den risikofrie renten er 6 per år. What opportunities are there for an arbitrageur 9.13. Gi en intuitiv forklaring på hvorfor tidlig utøvelse av et amerikansk put blir mer attraktivt, da risikofri rente øker og volatiliteten minker. 9.14. The price of a European call that expires in 6 months and has a strike price of 30 is 2. The underlying stock price is 29, and a dividend of 0.50 is expected in 2 months and again in 5 months. The term structure is flat, with all risk-free interest rates being 10. What is the price of a European put option that expires in 6 months and has a strike price of 30 9.15. Explain carefully the arbitrage opportunities in Problem 9.14 if the European put price is 3. 9.16. The price of an American call on a non-dividend-paying stock is 4. The stock price is 31, the strike price is 30, and the expiration date is in 3 months. Den risikofrie renten er 8. Leie øvre og nedre grenser for prisen på en amerikansk put på samme lager med samme utsalgsdato og utløpsdato. 9.17. Explain carefully the arbitrage opportunities in Problem 9.16 if the American put price is greater than the calculated upper bound. 222 CHAPTER 9 9.18. Prove the result in equation (9.4). (Hint: For the first part of the relationship, consider (a) a portfolio consisting of a European call plus an amount of cash equal to K, and (b) a portfolio consisting of an American put option plus one share.) 9.19. Prove the result in equation (9.8). (Hint: For the first part of the relationship, consider (a) a portfolio consisting of a European call plus an amount of cash equal to D K, and (b) a portfolio consisting of an American put option plus one share.) 9.20. Regular call options on non-dividend-paying stocks should not be exercised early. However, there is a tendency for executive stock options to be exercised early even when the company pays no dividends (see Business Snapshot 8.3 for a discussion of executive stock options). Give a possible reason for this. 9.21. Use the software DerivaGem to verify that Figures 9.1 and 9.2 are correct. Assignment Questions 9.22. A European call option and put option on a stock both have a strike price of 20 and an expiration date in 3 months. Both sell for 3. The risk-free interest rate is 10 per annum, the current stock price is 19, and a 1 dividend is expected in I month. Identifiser arbitrage muligheten åpen for en handelsmann. 9.23. Suppose that Cl, Cl, and C3 are the prices of European call options with strike prices K 1, K2, and K3, respectively, where K 3 gt K2gt Kt and K 3 - K2 K2 - K 1 All options have the same maturity. Show that C2. s 0.5(cl C3) (Hint: Consider a portfolio that is long one option with strike price KI, long one option with strike price K3, and short two options with strike price K2) 9.24. What is the result corresponding to that in Problem 9.23 for European put options 9.25. Suppose that you are the manager and sole owner of a highly leveraged company. All the debt will mature in 1 year. If at that time the value of the company is greater than the face value of the debt, you will payoff the debt. Hvis verdien av selskapet er mindre enn pålyddenes pålydende, vil du erklære konkurs og gjeldshaverne vil eie selskapet. (a) Express your position as an option on the value of the company. (b) Express the position of the debt holders in terms of options on the value of the company. (c) What can you do to increase the value of your position 9.26. Consider an option on a stock when the stock price is 41, the strike price is 40, the riskfree rate is 6, the volatility is 35, and the time to maturity is 1 year. Assume that a dividend of 0.50 is expected after 6 months. (a) Use DerivaGem to value the option assuming it is a European call. (b) Use DerivaGem to value the option assuming it is a European put. (c) Verify that put-eall parity holds. (d) Explore using DerivaGem what happens to the price of the options as the time to maturity becomes very large. For this purpose, assume there are no dividends. Explain the results you get. View Full Document This note was uploaded on 01302012 for the course MATH 174 taught by Professor Donblasius during the Spring 03911 term at UCLA.
No comments:
Post a Comment